求y=[(tanx)^2-tanx+1]/[(tanx)^2+tanx+1]最大、最小值

tanx 可以是任何数，这里可以用换元法， tanx = t
问题转化为求： ( t^2 - t + 1 )/ ( t^2 + t + 1 ) 的极值。
设 ( t^2 - t + 1 )/ ( t^2 + t + 1 ) = k
则 t^2 - t + 1 = k * (t^2 + t + 1)
(k-1)t^2 + (k+1)t + (k-1) = 0 ....... (I)
k可能的取值是要求这个方程有实根。
则 (k+1)^2 - 4(k-1)^2 >= 0
3k^2 - 10k + 3 <=0
(3k-1)(k-3) <= 0
1/3 < k <= 3

这说明：
1/3 <= ( t^2 - t + 1 )/ ( t^2 + t + 1 ) <= 3
进一步，利用 (I) 式，可以求出 t 为何值时，取到 1/3 和 3 ，然后可以求出 x .

tanX=T
上下都比T
式子可以变为:
y=(T+1/T-1)/(T+1/T+1)=1-2/(T+1/T+1)

T的范围为R
所以T+1/T大于等于2或小于等于-2
所以T+1/T+1大于等于3或小于等于-1
可得(-2)/(T+1/T+1)为大于等于-2小于0或大于0小于等于2/3
y=1+(-2)/(T+1/T+1)
所以y的最大值为3 最小值为1/3

设n=(tanx)^2+1>=2
则tanx=正负根号下（y-1).y取正时，tanx>=1;取负时，tanx小于等于—1。
原式化为=（y减加 根号下y-1)/(y加减 根号下y-1)
由于y恒大于 根号下y-1,所以分数线上下无论怎样取x值都是正的。将极限值2代入，得到两个值：3和1/3。所以最大值为3，最小值为1/3。